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动量与冲量 动量 ，描述物体的“运动惯性”，是矢量，方向与速度同向。冲量 ，是力对时间的积累效应（对比：功是力对空间的积累）。 动量的变化 。一个物体从运动到停下，动量变化很大，但若过程时间很短（撞击），平均力就极大——这就是安全气囊、跳远沙坑“延长时间、减小冲击力”的原理。 动量定理：力与时间的关系 动量定理：物体所受合外力的冲量等于它动量的变化量—— 公式 (1) > 使用要点：①…

概率论的核心问题从来不是「抛硬币第几次正面」，而是：已知一些信息后，另一件事的可能性如何改变？这一课前半讲条件概率——处理信息的代数；后半讲正态分布——自然界最钟爱的钟形曲线。 条件概率：信息改变概率 定义 设 、 是两个事件，且 ，则在 已经发生的条件下 发生的概率： 公式 (1) 直觉读法： 是把样本空间缩小到 内部之后， 占据的比例。分母 就是「缩小后的世界有多大」。 > 记忆点：…

上一课看到光有波动性；这一课钻进原子最深处——原子核。放射性、核反应、质能方程，把物理学从「能量守恒」推向更根本的「质能守恒」，也把人类带到了核能（与核武器）的门口。 天然放射现象：原子核自己会变 贝克勒尔发现铀盐能使底片感光——原子序数大于 83 的元素（以及不少人工核素）会自发放出射线，这种现象叫天然放射现象。放射性只与原子核有关，与核外电子、化学状态、温度压强无关——它是核性质的直接展示。…

上一课用「光线」解释了反射折射，但有些现象它无能为力：光绕过障碍物边缘、两束光叠加出明暗条纹——这些是波才有的本事。这一课的证据链只有一个目标：证明光是一种电磁波。 双缝干涉：波动性的铁证 什么是干涉 两列频率相同、相位差恒定、振动方向相同的波叠加，空间中形成稳定的加强区与减弱区——干涉。水波可以，声波可以，光若也是波，就应该能做出条纹。 杨氏双缝实验（1801 年）正是这么做的：单缝…

抛一枚硬币，结果是“正面/反面”；抽一件产品，可能是“合格/不合格”。这些结果的共同点是不能预先确定——但它们的规律是可以算的。随机变量就是把“随机结果”映射成“数”，让我们能用期望、方差去量化随机性。这篇把分布列、三大常见分布、期望与方差一次讲清。 随机变量：给随机结果“编号” 把随机试验的每一个结果都用一个实数表示，这个变量叫随机变量，记作 （如 表示“正面”、 表示“反面”）。…

高考压轴 · 09 / 18 ｜ 阅读约 12 分钟 痛点引子 「光纤没有接口，光为什么不会漏出来」 一根比头发还细的玻璃丝，能让光沿着它拐无数个弯走几公里——互联网的骨干就是它。光在水与空气的界面明明会折射「逃逸」，为什么在光纤里永远出不来？答案是三个字：全反射。…

上一课我们有了等差等比的通项与基本求和公式。但考场上真正的大题，数列往往既不是等差也不是等比——它们是两者的「杂交品种」。这一课的全部任务就是一件事：用变形把陌生数列化归为等差等比。再补上一件数学独有的武器：数学归纳法。 求和方法总览：先辨形，再选法 拿到数列求和，第一步永远是写出通项、看清结构： | 通项结构 | 首选方法 | |———-|———-| | 等差 × 等比（如 ） | 错位相减…

数列的概念 数列是按一定顺序排列的一列数 。第 项 用 表示就是通项公式；前 项的和记作 。 通项与求和的关系是“递推的钥匙”： 公式 (1) > 易错点：用 求通项时，必须验证 是否也满足（）。很多题“从第二项起才成立”，此时通项要写成分段形式。 等差数列 从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数 （公差）。核心公式： 公式 (2) 公式 (3) 等差中项：、、 成等差数列 。 >…

解三角形的两条定理 三角形 中，角 、、 所对的边分别为 、、，外接圆半径为 。 正弦定理 公式 (1) 变形：、、（“边化角”）；反过来 等（“角化边”）。 余弦定理 公式 (2) （轮换得另两式）变形求角：。 > 选择口诀：“已知两角一边用正弦，已知两边一角（夹角）用余弦，已知三边求角用余弦变形”。已知两边及其中一边的对角（）用正弦定理，但要讨论解的个数。 三角形面积公式 公式 (3)…

前面十几课都在跟「看得见摸得着」的宏观运动打交道。这一课钻到物体内部：一块铁、一罐气体，里面亿万个分子在做什么？答案出人意料地简单——它们在做永不停歇的无规则运动。热学的全部宏观规律，都是这亿万次微观碰撞的统计结果。 分子动理论：热现象的微观图像 物体由大量分子组成 一滴水里有多少个水分子？ 个量级——比全世界人口还多十几个数量级。把摩尔数与分子数连起来的桥是阿伏伽德罗常数： 公式 (1)…

上一课我们用分子动理论解释了气体的行为。这一课站到更高的位置，问两个极其朴素又极其深刻的问题：能量怎么记账（第一定律）？哪些过程天然不可能（第二定律）？——前者管「省」，后者管「向」，合起来就是热学的宪法。 内能：系统手里的「存款」 什么是内能 物体里所有分子的动能（无规则热运动）与分子势能（分子间作用力对应）之和，叫内能 。 任何物体都有内能——温度再低（只要不到绝对零度）分子也在动；…

功：力沿位移方向的效果 功是力对空间的积累效应，也是能量转化的量度。恒力 作用在物体上，物体发生位移 ，力与位移夹角为 ，则力做的功为： 公式 (1) ：，力做正功（把能量“给”物体，如动力）； ：，力不做功（如向心力、支持力沿竖直方向而位移水平）； ：，力做负功（“抽走”物体能量，如摩擦力、阻力）。 >…

直线运动和抛体运动解决的都是“走直线或走抛物线”的问题，速度方向都不绕圈。可生活里还有一种常见的运动——钟表指针的针尖、自行车轮的辐条、游乐场转盘上的座位——它们沿着圆周走，速度大小可以不变，但方向每时每刻都在变。这一篇讲清“匀速圆周运动”为什么明明叫“匀速”，却时刻有加速度。 匀速圆周运动：匀“速率”，变“方向” 线速度与角速度 物体沿圆周运动，弧长与时间的比值叫线速度，记作…

高考压轴 · 08 / 18 ｜ 阅读约 13 分钟 痛点引子 「波形图和振动图，为什么我总看反」 两幅长得几乎一样的正弦曲线：一幅叫「振动图」（–，单个质点的历史），一幅叫「波形图」（–，所有质点的瞬间合影）。考试中「再过 波形向哪移」「质点此刻向哪运动」，一半人选错——因为他们把「合影」看成了「传记」。 振动与波是高考的稳定考区：图像辨析、波的传播、干涉条件，年年必出。这一篇用「传记 vs…

电荷与库仑定律 电荷守恒定律：电荷既不能创造也不能消灭，只能从一个物体转移到另一个物体（或从物体的一部分转移到另一部分）。 真空中两个静止点电荷之间的作用力——库仑定律： 公式 (1) 它与万有引力 形式完全一致，都是平方反比律。区别在于：引力只有吸引，库仑力可引可斥；库仑力远强于引力（电子与质子间的库仑力约为引力的 倍）。 电场与电场强度 电场的物质性…

数系的扩充与复数的概念 方程 在实数范围内无解，因为负数的平方根不存在。数学家的对策不是认输，而是发明一个新数：规定 满足 ， 叫虚数单位。于是 的解为 。 把实数与虚数单位线性组合起来，得到复数的一般形式： 公式 (1) 叫实部（记 ）， 叫虚部（记 ）。注意虚部是 本身而不含 。 两个复数相等的充要条件非常朴素： 公式 (2)…

指数爆炸、对数平缓、幂函数居中——三种基本初等函数刻画了自然界与社会科学中最常见的增长规律（细胞分裂、地震震级、GDP 增速）。这一篇打通指数与对数这对“互为逆运算”的孪生兄弟。 指数与指数幂的运算 分数指数幂 次方根：，则 叫 的 次方根。当 为奇数时 对一切实数有意义；当 为偶数时要求 ，且 （算术根）。 公式 (1) 运算性质（）： 公式 (2) >…

函数是高中数学的绝对主线——从集合到导数，几乎每一章都在围绕“函数”打转。这一篇把函数的定义、三要素、单调性与奇偶性一次讲透。 函数的概念与三要素 函数是“输入—输出”的对应关系：设 是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系 ，对 中的任意一个数 ，在 中都有唯一确定的数 与它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数。 三要素：定义域 、对应关系 、值域 。 >…

不等式是高中数学里工具性最强的内容——求值域、证最值、讨论单调性都要用到它。这一篇先把“比大小”的地基打牢，再拿下高考最爱考的基本不等式与一元二次不等式。 不等式的性质（地基） 设 ，不等式的核心性质都从“数轴上的大小”来： 性质 内容 传递性 可加性 （同加同减不变向） 可乘性 ；（乘负数要变号！） 同向可加 同正可乘 乘方/开方 （） 倒数 （正数同号取倒数变号） >…

随机现象与样本空间 随机试验指满足三个条件的试验：可以在相同条件下重复进行；所有可能结果是明确可知的；每次试验之前不能确定会出现哪个结果。抛一枚硬币、掷一颗骰子都是随机试验。 样本空间：随机试验所有可能结果组成的集合，记 ，其中每个结果叫样本点； 随机事件：样本空间的子集，简称事件，常用大写字母 、 表示。事件发生当且仅当试验结果属于该子集； 必然事件：一定会发生的事件，即…