解三角形：正弦定理与余弦定理

解三角形的两条定理

三角形 中，角 、、 所对的边分别为 、、，外接圆半径为 。

正弦定理

变形：、、（“边化角”）；反过来 等（“角化边”）。

余弦定理

（轮换得另两式）变形求角：。

选择口诀：“已知两角一边用正弦，已知两边一角（夹角）用余弦，已知三边求角用余弦变形”。已知两边及其中一边的对角（）用正弦定理，但要讨论解的个数。

三角形面积公式

海伦公式（已知三边）：，其中半周长 。

“边边角”解的个数判断

已知两边 、 及角 （ 为锐角），由 讨论：

判断核心： 必须在 内，且 。 为钝角时， 必须大于 才有解，且只有一解。

边角关系与三角形形状判断

• 大边对大角：；
• 正弦判断：；
• 余弦判断： 则 为锐角， 则 ， 则 为钝角。

判断三角形形状：先看余弦（谁最大谁定钝角），或用正弦定理统一化为边或角。结论常见“等腰”“直角”“等边”“等腰直角”四种。

实际应用：测量与方位

• 仰角 / 俯角：视线与水平线的夹角，抬头为仰角、低头为俯角；
• 方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的夹角（如“北偏东 “）；
• 距离测量：隔河测距、测山高，构造可解的三角形，用正弦或余弦定理求未知边。

应用题四步：① 画示意图，标出已知的角与边；② 确定要求解的三角形；③ 判断用正弦还是余弦定理；④ 代入求解并回代检验。画图是解三角形应用题的灵魂，图对了题就成了一半。

综合套路

解三角形大题常与三角函数、三角恒等变换、最值综合：

1. 用正弦定理“边化角”或余弦定理“角化边”；
2. 结合 、诱导公式、辅助角公式化简；
3. 求边长范围或面积最值（常落到“已知一边及其对角，求面积最大值”——，用余弦定理 + 基本不等式求 最大值）。