数列：等差与等比，规律排成的一串数

数列的概念

数列是按一定顺序排列的一列数 。第 项 用 表示就是通项公式；前 项的和记作 。

通项与求和的关系是“递推的钥匙”：

易错点：用 求通项时，必须验证 是否也满足（）。很多题“从第二项起才成立”，此时通项要写成分段形式。

等差数列

从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数 （公差）。核心公式：

等差中项：、、 成等差数列 。

记忆：求和公式两个式子——“首尾相加乘项数除以二”最直观（高斯求和），另一式把 展开。已知 、、、、 五个量中任意三个，可求其余两个（“知三求二”）。

等差数列的性质

• 若 ，则 （下标和相等，项和相等）；
• 、、 仍成等差数列；
• 前 项和 是 的二次函数（ 时），可用二次函数求最值。

等比数列

从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个非零常数 （公比）。核心公式：

等比中项：、、 成等比数列 （）。

两个高频坑：① 公比 （等比数列每一项都不能为零）；② 时求和公式失效，，用求和公式前先判断 是否等于 1。

等比数列的性质

• 若 ，则 （下标和相等，项积相等）；
• 、、（各段均非零）仍成等比数列。

递推关系求通项（两个套路）

套路感：“一阶线性递推”（）统一配方成 ，就得到一个以 为公比的等比数列，剩下的交给等比公式。

数列求和技巧

• 分组求和：等差 + 等比混合，分开各求再相加；
• 错位相减：（等差 等比）， 两边同乘公比后错位相减；
• 裂项相消：，中间项全部抵消，只剩首尾。

裂项经典：。错位相减最后要记得“再算一步”把公比项除过去，别漏乘 。