平面向量：既有大小又有方向的数

平面向量的概念

向量是既有大小又有方向的量（本文用表示向量）。与之相对，只有大小没有方向的量叫标量（如质量、温度）。位移、速度、力都是向量。

向量用带箭头的有向线段表示，线段的长度表示向量的大小，箭头的指向表示方向。向量的模（大小）记作或。几个特殊向量是概念题的常客：

易错点：① 向量不能比较大小，只有模能比较；② 相等向量必共线，共线向量不一定相等；③ 单位向量有无数个（方向各不相同），说“单位向量”必须指明方向；④ 零向量方向任意，是“与任何向量平行”这句话成立的前提。

三角形法则：把的起点放在的终点，从起点指向终点。“首尾相连，连首尾”。

平行四边形法则：两个向量同起点作平行四边形，对角线就是和向量。三角形法则更通用，平行四边形法则只用于不共线的两个向量。

减法：，作图口诀“共起点、连终点、指向被减”。

向量加法的模满足三角不等式：

公式 (1)

（等号在共线同向 / 反向时取到——判断“何时取等”是小题常考点。）

实数与向量的数乘：模变为；同向、反向、得零向量。数乘满足结合律与分配律（与实数乘法形式一致，可放心“脱括号”）。

共线定理（向量平行与数乘的桥梁）：对非零向量，当且仅当存在唯一实数，使

公式 (2)

三点共线的判定：、、共线存在使（或）。后者是“定比分点”与向量中点的统一写法：为中点时。

两个非零向量、的夹角为（），数量积定义为：

公式 (3)

结果是一个数（标量），不是向量。叫在方向上的投影——“力做功 “就是数量积的物理原型。

数量积的核心结论要背熟：

运算律：交换律、数乘结合律、分配律都成立，但消去律不成立—— 推不出（只能得到）。数量积不满足结合律：无意义，因为点乘结果是数，不能再与向量点乘。

如果、是同一平面内两个不共线向量，那么该平面内任一向量都可以唯一表示为：

公式 (4)

、叫基底，、是在基底下的坐标。把基底取成互相垂直的单位向量、（正交基底），就得到直角坐标表示 ——向量的坐标即终点坐标减起点坐标。

口诀：平行看“叉积为零”（），垂直看“点积为零”。别记反！两条式子长得像，但差一个“叉/点”。

坐标运算把几何问题变成纯代数问题：证明垂直就证点积为，求夹角就套余弦公式，求模就开根号——建系是向量大题的第一动作。

已知、，中点坐标为，两点间距离 ——它就是模公式穿上坐标的外衣。

例题感：，时求的最小值——两边平方得，配方即得最小值（取到）。平方化模、点积展开是处理含参向量模的标准动作。