三角函数：把圆周运动翻译成函数

任意角与弧度制

初中只认识 到 的角，但“旋转”可以转好几圈、也可以反向转。于是把角的概念推广：一条射线绕端点逆时针旋转得到正角，顺时针旋转得到负角，不旋转是零角。这样角就有了任意大小与方向。

• 角的终边落在第几象限，就叫第几象限角（始边固定为 轴正半轴）；落在坐标轴上叫轴线角；

• 与角 终边相同的角的集合：

  公式 (1)

易错点：终边相同的角有无穷多个，写集合时一定要带上 。判断象限角时先把角化到 ：如 先加 得 ，在第二象限。

弧度制

弧度用“弧长与半径之比”度量角。当弧长恰好等于半径时，对应圆心角定义为 。一整圈弧长 ，所以：

换算口诀：角度乘 变弧度，弧度乘 变角度。高中做题默认用弧度制，几个常用值要秒答：

弧度制的价值在于弧长、扇形面积公式不再含 的系数：

记忆法：扇形面积长得像三角形——“底”（弧长 ）乘“高”（半径 ）。

任意角的三角函数

定义：单位圆视角

把角放进单位圆（半径 ），终边与单位圆交于点 ，则：

一句话记牢：正弦看纵坐标，余弦看横坐标，正切看斜率。若点 在半径为 的圆上，则 ，，。

特殊角的三角函数值直接背表（用弧度记，斜杠线是分数线不是除号，分子照抄分母照抄即可）：

符号法则与同角关系

各象限三角函数的正负由“谁为正”决定：一全正、二正弦、三正切、四余弦（按 记）——第一象限全正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。

同角基本关系只有两条，却是恒等变换的全部底料：

技巧：“弦化切”。已知 时，凡遇到 、 这类式子，把分母凑成 （即隐形的 ），再整体除以 就全部化为 的式子。符号归属（开方取正负）由 所在象限决定。

诱导公式

奇变偶不变，符号看象限。 这句话是全部诱导公式的总纲：

• “奇变偶不变”： 中 为奇数时函数名变（ 与 互换）； 为偶数时函数名不变；
• “符号看象限”：把 假想为锐角，看 落在哪个象限，取原函数在该象限的符号。

化简的固定套路是“负角化正、大角化小、化到锐角”三步走。例：——先去负号、再减去 得 ？不，，实际应加 得 ，。

易错点：用公式前先判断函数所在的象限符号，符号错了整题白做； 的公式是函数名互变的根源（正弦变余弦）。

三角函数的图像与性质

五点法与图像

在 上描五个关键点：、、、、，光滑连接即得正弦曲线。 的图像是正弦曲线左移 ； 在 处有垂直渐近线，被“切”成一段段上升曲线。

三大性质对比表

y = A sin(omega x + phi) 的图像

参数各管一件事： 管振幅（纵向拉伸，值域 ）， 管周期， 管左右平移。

由 到 的变换有两种顺序：

• 先平移后伸缩：向左平移 （若 ）再横坐标变为 ；
• 先伸缩后平移：横坐标变为 后，再平移的量是 而非 。

易错点：平移量要看 的系数。 到 是向左平移 ，不是 ！口诀：提系数、再平移。

由图像求解析式“三看”：看振幅定 （峰谷差的一半），看周期定 （），代最值点定 （最值点代入比零点可靠，零点有二义性）。

三角恒等变换

两角和与差公式

记忆口诀：正弦展开是“正余余正、符号照抄”；余弦展开是“余余正正、符号变号”（ 中间是减号）。

二倍角公式（降幂公式的源头）

的三种写法是降幂公式的来源，由后两种反解即得降幂公式：

降幂是为了“降次升角”，升幂是为了“升次降角”，恒等变换的第一直觉就是朝目标角的单角单次凑。

辅助角公式：异名化同名

推导即“逆用”两角和正弦公式：提出 后，令 、 即可。 所在象限由 的符号决定。

考场速记：；。辅助角公式是求最值、求单调区间的第一把钥匙——先把式子化成 的单名函数，一切性质照表抄。