统计：让数据开口说话

获取数据：抽样方法

研究对象的全体叫总体，其中每一个对象叫个体，从总体中抽取的一部分个体叫样本，样本含个体的数目叫样本量。抽样要回答的核心问题是：怎么用一小部分数据推断总体？前提是样本要有代表性。

简单随机抽样

从总体中逐个不放回地抽取 个个体，每个个体被抽到的机会都相等，叫简单随机抽样。实现方式：抽签法（总体不大）、随机数法（用随机数表或软件产生随机数）。

分层随机抽样

当总体由差异明显的几部分组成（如按年级、城乡分层）时，把总体分成互不重叠的层，按各层个体数占总体比例分别独立抽取，合起来组成样本，叫分层随机抽样。层内差异可能大，但层间比例被严格保持——样本结构才与总体结构一致。

易错点：分层抽样每层抽多少？第 层应抽 （该层个体数占总体比例乘以样本量），不是每层抽一样多。

用样本估计总体

频率分布直方图：看“形状”

画直方图的流程：求极差（最大减最小）→ 决定组距与组数 → 将数据分组 → 列频率分布表 → 画图。直方图中：

• 纵轴是“频率 / 组距”，不是频率；
• 每个小矩形的面积 = 该组的频率，所有小矩形面积之和 = 1；
• 最高矩形所在的组叫众数所在组，直方图轮廓反映数据分布形态（对称、左偏、右偏、双峰）。

易错点：读直方图频率必须看面积（高 × 宽），不能直接读纵轴刻度！组距不同纵轴就不同，只有面积才是频率。

其它常用图表

• 茎叶图：保留全部原始数据（十位作茎、个位作叶），适合样本量不大的两组数据比较；
• 频率折线图：连接直方图各矩形上边中点而成，用于观察变化趋势；
• 柱状图比大小、折线图看趋势、扇形图看占比——读图先问“它想让你看什么”。

集中趋势：平均数、中位数、众数

平均数（均值）是所有数据的“重心”：

中位数：数据从小到大排序后，中间位置的那个数（ 为偶数时取中间两个的平均）——不易受极端值影响。众数：出现次数最多的数据，可以不止一个。

记忆：极端值（如“某人年薪一个亿拉高平均”）会把平均数拉走，但中位数岿然不动——所以收入分布常用“中位数”描述更诚实。

离散程度：极差、方差、标准差

数据“散不散”用离散程度衡量：

• 极差 = 最大值 − 最小值，最粗糙的散布指标；
• 方差 是离差平方的平均：

• 标准差 是方差的算术平方根，与数据同单位，实际使用更多：

易错点：方差为 当且仅当所有数据全部相等；比较两组数据稳定性比标准差（或方差），越小越稳定。计算方差时平方差要“先差、再平方、后平均”，顺序别乱。

百分位数

把数据从小到大排列， 分位数是这样一个数：至少有 % 的数据小于或等于它，且至少有 % 的数据大于或等于它。求法：先算位置 %（即 ），若 不是整数，取大于 的最小整数所对应的数据；若 是整数，取第 项与第 项的平均数。

常用：25%（下四分位数）、50%（即中位数）、75%（上四分位数）。箱线图就是围绕三个四分位数与极值画的。

分层抽样下的总体均值与方差

分层抽样得到两组样本后，总样本均值不是简单相加平均，而要按样本量加权。设第 1 层样本量 、均值 、方差 ，第 2 层相应为 、、，则总样本均值为：

总样本方差要把“层内散布”和“层间差距”都算进去：

直觉：两堆数据合在一起后，不仅每堆内部有散布，两堆均值不同本身也是一种散布——方差公式第二项 补的就是“组间差距”。考试若给两组统计量求合并方差，直接用本公式；求合并均值则必用加权平均。

用样本估计总体的思想

统计的终极动作是推断：用样本的频率分布、平均数、方差去估计总体的相应特征。样本量越大、抽样越随机，估计越可靠——这正是下一章“概率”要解释的：为什么频率能稳定地逼近概率。