随机变量及其分布：把随机性变成可计算的数

抛一枚硬币，结果是“正面/反面”；抽一件产品，可能是“合格/不合格”。这些结果的共同点是不能预先确定——但它们的规律是可以算的。随机变量就是把“随机结果”映射成“数”，让我们能用期望、方差去量化随机性。这篇把分布列、三大常见分布、期望与方差一次讲清。

随机变量：给随机结果“编号”

把随机试验的每一个结果都用一个实数表示，这个变量叫随机变量，记作（如表示“正面”、表示“反面”）。

概念辨析：随机变量的“值”不是“概率”，而是“结果对应的数”。设表示“掷两颗骰子点数之和”，是事件，才是概率——别把二者混为一谈。

的所有可能取值为，对应概率，列表：

			,
			,

分布列必须满足两条性质：

一句话区分：“有放回（独立重复）→ 二项分布；不放回（一次抽足）→ 超几何分布”。当总体很大、抽取很少时，超几何分布近似二项分布。

离散型随机变量的数学期望（均值）是各取值与其概率的加权平均：

公式 (1)

期望的两条运算性质（常用来化简）：

例题感：甲乙两人各掷一枚骰子，甲得点数为（），若规则改为“甲的点数乘以 2 再减 1”，则。期望是“线性”的，直接套公式即可，不用重算分布列。

方差描述取值偏离期望的程度：

公式 (2)

标准差。方差越小，取值越集中、越稳定。

方差的两条运算性质：

易错点：① 方差算的是“离差的平方”的期望，不是“期望的平方”；② 里 完全不参与（平移不改变波动）；③ 用算方差时，是“取值平方”再乘概率求和，别写成的平方。

若随机变量服从正态分布，其密度曲线呈钟形，关于对称，决定“胖瘦”（越大曲线越矮胖、数据越分散）。原则：

记忆：“68-95-99.7”——一个标准差内约 68%、两个约 95%、三个约 99.7%。求正态分布落在某区间的概率，先把区间“对齐”到再利用对称性与这组数。