成对数据的统计分析：回归与独立性检验

前两课统计处理「一个变量」（身高、成绩），这一课处理「两个变量之间的关系」：广告费与销量相关吗？吸烟与患病有关吗？前者用回归分析量化趋势，后者用独立性检验裁决「有关还是无关」。

相关关系与散点图

函数关系是一一确定的（）；相关关系是「有趋势、不精确」——身高与体重、学习时长与成绩。拿到成对数据 ，第一件事永远是画散点图：

• 点自左向右上升——正相关；下降——负相关；
• 点紧贴一条直线——线性相关强；弥散一片——几乎不相关；
• 点贴一条曲线——非线性相关（后文可线性化）。

散点图是回归分析的安全带：不画图直接套公式，把弯曲趋势硬算成直线是最常见的错误。

一元线性回归：最小二乘法

经验回归方程

给散点配一条直线 ，使每个点的残差 的平方和最小——这就是最小二乘法。公式：

计算器或题目数据表可直接出 、；手算时先算 、，再列 、 两列乘起来求和。

记忆点：回归直线必过中心点 ——检验算出的 是否正确的秒杀判据，也是选择填空的常客。

相关系数 ：相关的强弱

回归方程任何一组数据都能算出来——哪怕点散得毫无趋势。 用来先问「配不配回归」：

• ； 正相关， 负相关；
• 越接近 1，线性相关程度越强；接近 0 说明几乎无线性关系；
• 左右常视为「较强」的参考线（具体阈值看题目规定）。

（决定系数）是 的推广版：，越接近 1 拟合效果越好，曲线回归也能用。

非线性模型：先化直，再回归

若散点贴指数曲线 ，取对数 ，则 与 线性相关——对 做线性回归得 ，再由 还原。对数型、幂型同理：换变量把弯拉直。

独立性检验： 裁决

列联表与零假设

判断两个分类变量（吸烟/不吸烟 × 患病/不患病）是否相关，先整理 列联表：

零假设 ：两个变量相互独立（没关系）。检验就是问：数据与 的差距有多大？

统计量与临界值

越大，「独立」越难解释数据。对照临界值表：

记忆点：结论的标准句式是「有 95%（99%）的把握认为 A 与 B 有关」，不是「A 导致 B」—— 检验只说相关，不说因果； 小于临界值只能说「没有足够证据认为有关」，不能说「证明无关」。

解题方法论

• 回归三步：散点图 → 算 、（中心点验算）→ 用方程预测并注明「估计」；
• 先 后回归： 很小就别硬配直线，题给 时先答「线性相关程度强/弱」；
• 非线性换元：指数取 、幂取对数双换，化直后回归，还原时用反函数；
• 手算纪律：分子先算 ，分母四个边缘和一个不落； 别丢；
• 表述是得分点：「有 …% 把握认为有关」「预测约 …」——统计结论的措辞本身就是考点。

一句话收束：回归分析给「关系有多强」一个方程，独立性检验给「有没有关系」一个判决——统计不替你断言因果，它只负责告诉你在数据面前，多大的把握说多大的话。