参数方程与极坐标：给曲线换一套描述语言

参数方程：让坐标随时间流动

前面学过的曲线方程都是“直接关系”：，一个对应一个。但有些曲线用这种写法很别扭——比如圆，一个对应两个。更自然的描述是：让一个参数（比如时间）牵着坐标走：

公式 (1)

这就是圆心在原点、半径为的圆的参数方程。物理里的抛体运动其实就是抛物线的参数方程——参数方程是“运动的数学”，流动，点就画出曲线。

消参可以把参数方程变回普通方程：对圆的参数方程，两式平方相加消去，得。反过来，普通方程也常常“制造”参数——比如椭圆的参数方程，正是离心角。

过点、倾斜角为的直线可写成

公式 (2)

这组参数方程有个珍贵的几何意义：参数的绝对值就是到动点的距离（在直线上方，在下方）。解“直线与曲线交点到某点的距离”问题时，把参数方程代入曲线方程解出，距离立刻现形——不用再算两点间距离公式。

直角坐标用“东西南北走多少”定位，极坐标用“朝哪个方向、走多远”定位：取原点为极点、水平射线为极轴，平面上一点用有序对描述—— 是到极点的距离（极径），是射线转到的角度（极角）。

两套坐标由一组公式互相翻译：

公式 (3)

极坐标最擅长描述“绕着极点转”的曲线——距离只依赖方向的图形，在极坐标下方程往往短得惊人：以极点为圆心、半径的圆就是；过极点的射线就是。

在极坐标下写下，让从转到，会得到一条自带“爱心”的曲线——心形线（ cardioid ）：

参数方程与极坐标不改变曲线本身，改变的是描述语言。很多“解析几何里的硬骨头”——椭圆上动点与焦点的连线、摆线、螺线——换个坐标系后简洁得像一首诗。选择合适的表达方式，本身就是数学的核心品味。