计数原理：排列组合与二项式定理
“一共有多少种方法？”这类问题看着简单，做起来却最容易数重或数漏。排列组合的本质是不重不漏地计数，而二项式定理是组合数的天然舞台。这篇把“两个原理 → 排列组合 → 二项式”的主线一次打通，再给几把处理难题的“工具刀”。
两个基本计数原理
- 分类加法计数原理：完成一件事有 类方案，第 类有 种方法，则总方法数 。关键词——“或”（一类做完即完成）。
- 分步乘法计数原理：完成一件事分 个步骤，第 步有 种方法，则 。关键词——“且”（每步都做才完成）。
口诀：“分类用加、分步用乘”。判断标准只有一个：这件事“做一次就成”还是“必须接连做完几件事才成”。
排列与组合
定义与公式
排列（从 个不同元素中取 个按顺序排成一列）：。
组合（从 个不同元素中取 个组成一组，与顺序无关）：。
| 对比 | 排列 | 组合 |
| 核心 | 有序（排序不同算不同） | 无序（只论取哪些） |
| 公式 | ||
| 典型场景 | 排队、组数字、安排座位 | 选人、取球、分堆（不编号） |
| 重要性质 | —— | ，（杨辉三角） |
判断用排列还是组合，就问一句：调换顺序后算不算另一种情况？算——排列；不算——组合。
组合数两条性质要背熟
（对称性，计算时取较小者省事）；（递推，杨辉三角的来源）。
排列组合的六把“工具刀”
- 捆绑法（元素必须相邻）：把相邻元素“绑”成一个整体参与排列，再乘内部排列；
- 插空法（元素互不相邻）：先排其余元素，再把不相邻元素插进空档；
- 隔板法（相同元素分组，每组至少一个）： 个相同物分给 组且每组至少 1 个，方案数 ；
- 错位排列（每个元素都不在原来位置）：记 ，有 、、、，满足递推 ；
- 正难则反（排除法）：总数 − 不合条件数；
- 先选后排：先把元素“选出来”（组合），再“排进去”（排列）。
例题感： 名男生 名女生排成一排，女生互不相邻——先排 名男生（），产生 个空档， 名女生插空（），总数 。相邻用捆绑、不相邻用插空，是排列组合最常考的两招。
二项式定理
展开式第 项（通项）：
公式 (1)
其中 叫二项式系数，与含 、 的具体数值无关。
二项式系数的性质
- 对称：，展开式两端向中间对称；
- 最大值： 为偶数时中间一项 最大； 为奇数时中间两项 相等且最大；
- 各二项式系数之和：；
- 奇数项系数和 = 偶数项系数和 = 。
易错点：① 分清“二项式系数 “与”项的系数”（后者还要乘上 、 的系数幂，如 中某项系数是 ）；② 求“第几项”时注意 的下标从 开始——说“第 项”对应 ；③ 求有理项 / 常数项，令 的指数为 （或整数）解出 。
| 目的 | 操作 |
| 求特定项（常数项/含 项） | 写通项 ，令指数满足条件解 |
| 证明整除 / 求余数 | 把底数拆成 某数，用二项式展开 |
| 求近似值 | 较小时展开取前几项 |
| 求系数和 | 令 （各项系数和），（正负抵消） |
技巧：“赋值法”是二项式系数和的万能钥匙——要求各项系数之和，直接令 ；要求奇偶项系数之差，令 。这是填空题最爱考的点。
小结
- 分类加法（“或”）与分步乘法（“且”）是一切计数的根基；
- 排列看顺序（），组合不看顺序（），判断标准是“调换顺序算不算另一种”；
- 六把刀：捆绑（相邻）、插空（不相邻）、隔板（相同元素分组）、错位排列、正难则反、先选后排；
- 二项式定理通项 ，二项式系数和 ，赋值法求系数和；
- 别混淆“二项式系数”与“项的系数”，下标从 起。