圆锥曲线：椭圆、双曲线与抛物线

圆锥曲线的统一定义

椭圆、双曲线、抛物线都由“平面截圆锥”而来，可统一为：到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离之比为常数 （离心率）的点的轨迹。

• ：椭圆；
• ：抛物线；
• ：双曲线。

椭圆

定义：到两定点 、 的距离之和为常数 （， 为焦距）的点的轨迹。

标准方程（焦点在 轴）：

其中 。焦点坐标 ，离心率：

记忆：椭圆里“长轴 、短轴 、焦距 “， 最大、（像直角三角形的斜边）。离心率越大，椭圆越扁；越接近 越接近圆。

双曲线

定义：到两定点 、 的距离之差的绝对值为常数 （）的点的轨迹。

标准方程（焦点在 轴）：

其中 。焦点坐标 ，离心率：

渐近线：双曲线无限逼近的两条直线：

记忆：双曲线里“ 最大，”（与椭圆相反，椭圆 ）。渐近线是双曲线的“招牌”，写标准方程时 、 就在渐近线斜率里。

等轴双曲线

时，方程为 ，渐近线 （互相垂直），离心率 。

抛物线

定义：到定点 （焦点）与到定直线（准线）距离相等的点的轨迹。标准方程（开口向右）：

焦点 ，准线 。四个开口方向对应四种标准方程：

记忆：抛物线“一次项定轴、符号定开口”。方程中哪一项是一次，焦点就在哪条轴上；一次项系数为正，开口朝正方向。焦半径（抛物线上点到焦点的距离）等于该点到准线的距离，这是抛物线最重要的几何性质。

直线与圆锥曲线的位置关系

设直线 ，与圆锥曲线联立消元，得关于 （或 ）的一元二次方程，判别式 判定：

• ：相交（两个交点）；
• ：相切（一个交点）；
• ：相离（无交点）。

弦长公式：。韦达定理（、）是联立后的标准动作，“设而不求”是圆锥曲线大题的灵魂。

解题套路

1. 由条件定标准方程（先定位焦点在哪个轴，再求 、、）；
2. 联立直线与曲线，消元得一元二次方程；
3. 用韦达定理表达 、；
4. 把题目条件（垂直、中点、定值、面积）翻译成 、 的式子，代韦达结论求解。

易错点：双曲线与直线联立时可能消元后二次项系数为零（直线与渐近线平行），此时只有一个交点，要单独讨论；椭圆、双曲线都要检验“判别式与定义域”。