导数及其应用：用极限的眼光看变化

导数的概念

函数 在 处的导数，是平均变化率 当 时的极限：

导数的几何意义： 是曲线 在点 处切线的斜率。物理意义：位移对时间求导是速度，速度对时间求导是加速度——导数就是“瞬时变化率”。

基本初等函数的导数公式

记忆：幂函数“指数搬下来、指数减一”；正弦余弦“一求导就互换、还带符号循环”（）；指数函数求导“自己乘 底数”（ 是“自己”最省心的特例）。

求导法则

• 和差：；
• 积：；
• 商：（）；
• 复合函数：——“由外向内，逐层求导再相乘”。

复合函数求导是高考最爱挖的坑：先对“外层”求导、括号里的整体不变，再乘“内层”的导数。例：，漏掉 就错了。

导数的应用

切线与法线

曲线在 处的切线方程：

易错点：求切线先判断切点是否已知。若已知切点在曲线上，直接代入 式 ；若只知道切线过某一点（未必是切点），要设切点、用斜率相等列方程求解。二者常被混为一谈。

单调性

在区间内： 单调递增； 单调递减。求单调区间的步骤：求导 → 令 找“临界点” → 列表判断各区间符号。

极值与最值

极值点：导函数在 左右两侧变号（左正右负为极大值点，左负右正为极小值点）。最值：在闭区间 上，比较所有极值与端点值 、，最大者为最大值、最小者为最小值。

关键区分： 是 为极值点的必要不充分条件——例如 在 处导数为零但无极值（两侧同号）。判断极值要看“导数是否变号”，不是看“导数是否为零”。

典型应用：恒成立与最值

• 求参数范围：“ 恒成立” 等价于 “”；
• 证明不等式：构造 ，证 ；
• 实际优化：利润最大、用料最省，设变量列函数，求导找最值。

思路总纲：导数题的核心动作只有两个——“求导、判断符号”。符号由导函数的零点划分，必要时对导函数再求导（二阶导）判断原导函数的单调性，从而确定符号。