直线与圆的方程：用代数描绘画布

上一站圆锥曲线的主角是椭圆、双曲线、抛物线，可它们的“骨架”其实是更基础的直线与圆。解析几何的核心思想只有一句：用方程刻画图形，用代数运算代替几何直观。这篇把“点—直线—圆”三件套讲透，它们是所有解析几何题的入场券。

直线的倾斜角与斜率

一条直线向上的方向与轴正方向的夹角（）叫倾斜角。斜率是倾斜角的正切：

公式 (1)

易错点：倾斜角是“直线向上的方向与轴正方向”的夹角，范围；斜率不是“角度越大越大”，在处断—— 从正无穷跳到负无穷。

口诀：“点斜斜截两点式，最后统统化一般”。解题时先选合适形式，最后结果写成一般式最保险（避免漏掉斜率不存在的竖直直线——点斜式、斜截式天然排除了它）。

由一般式可读出：斜率，纵截距。

，：

公式 (2)

记忆：分子是把点代进直线方程取绝对值，分母是、平方和开根——“点代进去取绝对，系数平方开根号”。

圆心、半径的标准方程：

公式 (3)

展开得一般方程 （需），此时圆心、半径。

易错点：① 一般方程必须“配方”回去才看得出圆心半径，公式记牢：圆心是（系数一半取负）；② 圆方程是二元二次且、系数相同、无项——这是“是不是圆”的快速判据。

直线与圆的三种位置关系，只看圆心到直线的距离与半径的大小：

圆心到直线的距离与半径比较：

判断直线与圆的位置关系，永远先用几何法（比与），不要硬联立解判别式——几何法快且直观。只有求具体交点坐标时才联立方程。

过圆上一点的切线：圆心与连线垂直于切线，切线垂直半径。过圆外一点作圆有两条切线（求切点用“切点在圆上 + 半径垂直切线”两个条件）。

两圆圆心距，半径、（）：

两圆相交时，两方程相减得到公共弦所在直线方程（一次方程），用它配合点到直线距离求公共弦长，比求交点快得多。