概率：给随机一个刻度

随机现象与样本空间

随机试验指满足三个条件的试验：可以在相同条件下重复进行；所有可能结果是明确可知的；每次试验之前不能确定会出现哪个结果。抛一枚硬币、掷一颗骰子都是随机试验。

• 样本空间：随机试验所有可能结果组成的集合，记 ，其中每个结果叫样本点；
• 随机事件：样本空间的子集，简称事件，常用大写字母 、 表示。事件发生当且仅当试验结果属于该子集；
• 必然事件：一定会发生的事件，即 本身；不可能事件：一定不发生的事件，即空集 。

易错点：随机试验的结果必须是明确可知的——“明天会不会下雨”不是随机试验，因为无法在相同条件下重复；但“掷骰子出现几点”是。

古典概型

两个条件与计算公式

如果随机试验满足：① 样本空间只有有限个样本点；② 每个样本点发生的可能性相等，就叫古典概型。设事件 包含的样本点数为 ，样本空间 的总样本点数为 ，则：

计数样本点的方法

样本点个数不多时，最可靠的办法是列全：列举法（一一写出）、树状图（分步试验，如“先抛硬币再掷骰子”）、列表法（两个对象各取一个，如“两枚骰子”的 表）。分步试验用树状图，乘积型试验用列表。

易错点：务必检查等可能性！“抛两枚硬币”的样本空间是 正正、正反、反正、反反 四个等可能结果，不是三个——“一正一反”实际对应两个样本点，概率是 而非 。

事件的关系与运算

互斥与对立是最高频考点：互斥只要求“不能同时发生”（可以都不发生），对立还要求“必有一个发生”（补集关系）。对立必互斥，互斥不一定对立。

集合语言统一记忆：事件就是集合——并 = 至少一个发生，交 = 同时发生，对立 = 取补集。把概率问题翻译成集合问题，文氏图一画，关系一目了然。

概率的基本性质与运算

基本性质

对任何事件 ：；必然事件 ；不可能事件 。

互斥事件与对立事件的概率

若 、 互斥（），则它们不可能同时发生，概率直接相加：

由 且互斥，得对立事件公式（“正难则反”的总开关）：

更一般的加法公式（、 不互斥时，交的部分被加了两次要扣回一次）：

口诀：“至少”对“一个都没有”，“至多”对“反面情形”——凡正面情形分类繁琐，一律转对立事件，这是概率题性价比最高的第一步。

频率与概率

频率是试验做出来的比例（ 次试验中事件 出现 次，频率 ），随试验次数波动；概率是事件固有的客观度量，是一个确定的常数。两者关系：大量重复试验时，频率稳定于概率——这就是频率估计概率的依据（大数定律的直觉形态）。

总结：统计是“从数据反推规律”（用样本估计总体），概率是“由规律预言数据”（用模型计算可能性）——两章合起来构成高中“数据分析”素养的完整闭环：样本 → 统计 → 推断 → 概率模型 → 预测。