等式性质与不等式性质：从比大小到基本不等式

不等式是高中数学里工具性最强的内容——求值域、证最值、讨论单调性都要用到它。这一篇先把“比大小”的地基打牢，再拿下高考最爱考的基本不等式与一元二次不等式。

不等式的性质（地基）

设 ，不等式的核心性质都从“数轴上的大小”来：

易错点：乘负数必须变号，这是不等式运算与等式最大的不同。判断“能否推出”的选择题，逐条对照上表，拿不准就取特殊值验证（如 ）。

基本不等式（高考最值工具）

对于正数 ，有：

当且仅当 时取等号。左边叫算术平均数，右边叫几何平均数——“算术平均不小于几何平均”。

使用三原则：一正、二定、三相等

1. 一正： 必须都是正数（负数不适用，先取相反数或变形）；
2. 二定：和 为定值时，积 有最大值；积 为定值时，和 有最小值——必须出现“定值”才能用；
3. 三相等：验证等号能否取到，即 是否在允许范围内。取不到等号时，最值要另找方法（如对勾函数、单调性）。

“1 的代换”是高频技巧：已知 且 ，求 的最小值。做法： 展开得 ，当 即 时取等。

一元二次不等式（高考必考）

三个“二次”的关系

一元二次不等式 （）的解法，本质是看二次函数图像在 轴上方还是下方。设对应方程 的两根为 ，判别式 ：

记忆口诀：“大于取两边，小于取中间”（前提是 且有两根）。若 ，先把两边同乘 化为 再解——别硬记符号。

含参讨论的固定流程

解含参一元二次不等式，按以下顺序分类：

1. 看二次项系数是否为 0（是一次还是二次）；
2. 二次时求判别式 ，讨论与 0 的关系（两根存在性）；
3. 有根时比较两根大小（尤其含参时 与 谁大取决于参数）；
4. 最后套“大于取两边、小于取中间”。

对 恒成立 且 （二次）； 时退化为一次恒成立问题，需单独讨论。

分式不等式与绝对值不等式（延伸）

分式不等式 不能直接“两边乘分母”（不知道正负），要移项通分转化为整式不等式：

易错点：分式不等式转整式后，分母 这个约束必须保留——否则会把使分母为零的“假根”混进解集。带等号时尤其要小心。

绝对值不等式 （）， 或 ——“小于夹中间，大于分两边”，与一元二次不等式口诀同构。