定积分初步：把无限个小矩形加起来

一个“算不出面积”的问题

抛物线与轴、直线围出一块“曲边梯形”。矩形的面积 = 底 × 高，可这里的高处处在变——小学到高中的所有面积公式在此集体失效。

牛顿与莱布尼茨的思路是化归：把曲的当成直的算，用无限逼近消灭误差。把区间切成等份，每一小段上用矩形近似代替曲边：

分割越细，矩形面积和与真实面积只差“一个可以任意小的量”。当，这个和就定义了面积：

公式 (1)

这个极限就叫定积分。注意我们并没有“发明”什么新公式——只是把加法做到了无穷多份。极限思想又一次把“算不出来”变成了“逼近到精确”。

一般地，函数在区间上的定积分写作

公式 (2)

读作“ 从到的定积分”。几何上，时它就是曲线下方的面积；有正有负时，轴上方的面积记正、下方记负。

微分与积分是同一枚硬币的两面：导数研究“变化率”，积分把变化率累积回来。速度对时间积分得位移，力对位移积分得功——积分就是“无限细分再求和”的通用语言。

按定义算极限太苦。牛顿与莱布尼茨发现了一条惊人捷径：若（是的一个原函数），则

公式 (3)

积分问题瞬间退化成“找原函数”——而找原函数正是求导的逆运算，上一章的导数表倒着背即可。比如满足，立刻得到，与黎曼和的极限殊途同归。

比如（从 0 到 3，单位 m/s）：位移，正是 – 图线下的三角形面积。物理课的“面积法求位移”，本质就是一次定积分。

高中阶段只需掌握：定积分的思想（分割—近似—求和—取极限）、简单幂函数与线性函数的积分、牛顿–莱布尼茨公式的使用。到了大学，这套语言会生长成整座微积分大厦——面积、体积、做功、概率、期望，凡“连续量的累积”，皆用积分书写。