复数：给方程一个完整的解

数系的扩充与复数的概念

方程 在实数范围内无解，因为负数的平方根不存在。数学家的对策不是认输，而是发明一个新数：规定 满足 ， 叫虚数单位。于是 的解为 。

把实数与虚数单位线性组合起来，得到复数的一般形式：

叫实部（记 ）， 叫虚部（记 ）。注意虚部是 本身而不含 。

两个复数相等的充要条件非常朴素：

即“实部等于实部，虚部等于虚部”——复数相等问题永远化归为实数方程组。复数的分类按虚部是否为 一刀切：

易错点：① 说“ 是纯虚数”要同时满足实部为 且虚部不为 ——题设常给 问何时为纯虚数，很多人漏掉 的检验；② 虚数（非实数）不能比较大小，只有实部虚部同为实数时才能谈大小；③ 与 都是 的解，缺一不可。

复数的四则运算

加减与乘法：当多项式算

复数加减就是“实部相加减、虚部相加减”：。

复数乘法把 当字母展开，再把 换成 ：

的幂四个一循环，是化简的快捷方式：

速算：求 就看 ，余数 ，故 。余数定幂。

共轭复数：除法实数化的钥匙

与 实部相同、虚部相反的复数 叫 的共轭复数，记 。共轭的两条黄金性质：

第二条是分母实数化的依据——复数除法就是“乘以分母的共轭再约分”：

复数的几何意义

复平面：复数 ↔ 点 ↔ 向量

用直角坐标系的横轴表示实部（实轴）、纵轴表示虚部（虚轴），这样的平面叫复平面。复数 与点 、向量 一一对应——复数的加减因此有了平行四边形法则的几何图像，向量的一切工具（模、距离、中点）全部可以搬过来。

复数的模就是向量的长度：

共轭的几何意义： 与 关于实轴对称。 表示复平面上两点 、 间的距离——于是 描述以 为圆心、 为半径的圆，这是复数几何题的常客。

模的三条性质要会用（都源于 ）：

• （乘积的模等于模的乘积）；
• （）；
• （三角不等式，几何上是“两边之和大于第三边”）。

例题感： 时求 的最小值—— 在以原点为圆心半径 的圆上， 的模是圆上的点到定点 的距离，最小值为“距离减半径”：。复数最值问题先想几何意义。

实系数一元二次方程的虚根

实系数方程 （）判别式 时，在复数范围内仍有两个根：

它们是一对共轭虚根（ 时退化为一对相反纯虚数）。韦达定理在复数范围内照常成立：，——这给“已知一根求另一根”的题提供了免解方程的捷径。

总结：数系从自然数到整数、有理数、实数、复数，每扩充一次都解决一类“不够用”：减法、除法、开方（负数平方根）。复数集是最大的封闭数系——四则运算、乘方开方都“关得住门”，高中阶段到此为止，不再扩充。