物理建模与仿真：Python、Typst 与 CeTZ 协同

建模仿真 · 14 / 18 ｜ 阅读约 13 分钟

痛点引子 「这道题没有公式可套，但计算机可以一秒试完」

空气阻尼下的投篮轨迹、非线性摆的混沌运动、多体引力下的星轨——它们没有解析解，却能用计算机一步一步算出来。这就是数值仿真：把物理定律交给循环语句，让机器替你「做十万次一小步」。

仿真与第 13 篇的数学建模是一对搭档：建模给出方程，仿真给出数值结果，Typst 与 CeTZ 负责把结果变成可发表的文档与图。这一篇打通这条现代科研的生产线。

知识地图 仿真生产线的四站

已学基础：微元法（第 15 篇）、微积分语言（第 12 篇）、建模流程（第 13 篇）。本篇把它们编码化：物理模型 → 微分方程 → 离散化（把 换成小步长 ）→ 循环计算 → 可视化。断层在哪？中学只做「解得出来」的题，仿真解锁「解不出来但算得出来」的题——能力边界从公式库扩展到想象力。

流水线的关键一站是离散化：把 改写为更新规则 ——每过一个时间步，速度增加一点。计算机每秒执行百万次这样的小步，连续的物理世界在机器里变成离散的幻灯片。步长 是仿真的核心参数：太大则失真，太小则费时。

核心讲解 两个核心：收敛性意识与可视化

核心概念一：数值解永远带着「步长税」。

检验仿真是否可信的标准做法：先解一个有解析解的简单版本（比如无阻尼抛体），把数值解与精确解画在一起。本例的欧拉法折线系统性偏低——这是它的固有误差，步长减半误差大体减半（收敛性合格）。凡是仿真论文，都要有这一张「与解析解对比」的图，证明你的代码可信，然后才有资格谈新现象。先校准再测量，与实验的科学素养完全同构。

核心概念二：可视化是仿真的第二生命。

数据表格没有人读得懂，图与动画才有说服力。CeTZ 恰好是「由数据画图」的利器：把仿真输出的每帧位置喂给 CeTZ，自动生成轨迹分帧图——图中水平速度矢量不变、竖直速度逐帧等量变化，重力加速的本质一图看穿。这也是本系列配图的方法论：数据 → 代码 → 图，可复现、可修改、可动画。强基与科创比赛的报告里，「用代码仿真 + 用 CeTZ 绘图」的组合是区分度的最短路径。

例题拆解 二十行代码仿真一个阻尼抛体

v = [vx0, vy0]; s = [0, h]
for i in range(N):
    a = (0, -g) - (k/m) * v
    v = v + a * dt
    s = s + v * dt
    track.append(s)

没有解析解也没关系——用「关闭阻力」的版本校准代码（应精确复现抛物线），再打开阻力看差异。校准—仿真—可视化三段，就是一道开放题的完整答卷。

仿真还有一个「混沌」的彩蛋值得预演：数值方法对某些系统（非线性摆、三体引力、天气）会出现「蝴蝶效应」——初值的十亿分之一误差，几十步后被放大到面目全非。这不是代码 bug，而是系统本身的属性（对初值敏感依赖）。洛伦兹用计算机研究大气环流时发现了它，混沌理论由此诞生。仿真的极限告诉我们：可计算不等于可预测——这是计算思维教给物理学家最谦逊也最深刻的一课。

思维方法 计算思维：把物理直觉交给循环

行动清单 今天就能做

可视化还有一个「色彩语义」的进阶建议：为你的仿真输出建立一套固定的颜色语言——蓝=速度、橙=能量、红=异常、灰=参考，全项目统一。跨图对比时，读者（包括未来的你自己）不需要重新学习图例。这一条与全系列的配色规范（蓝数学、橙物理）同源：色彩语义的一致性，是专业度最便宜的可见标志。工程界的图表规范手册（如各航天的可视化指南）都在重复同一条建议。

快问快答：三个高频疑问

• 步长取多小才算够？ 答：做「步长减半」测试：结果变化小于你需要的精度即可——收敛性试验是标准动作。
• 仿真结果与实验不符先查什么？ 答：先查代码（守恒量是否漂移），再查模型（阻力形式、参数），最后才怀疑理论。
• 不会编程能做仿真吗？ 答：电子表格的迭代列就是最朴素的仿真器——先在表格里体会「逐步更新」，再迁移到代码。

延伸阅读

• [S3-13 · 数学建模]：假设与验证的流程同款。
• [S1-17 · 工具箱]：Typst + CeTZ 的绘图底座。
• [S3-16 · 高级绘图]：分帧可视化的进阶版本。